Алгебраїчні, трансцендентні, цілі, раціональні, дробові вирази

Поняття алгебраїчного виразу

Якщо з'єднати числа, знаки дій, дужки в одному вираженні, то отримаємо числовий вираз.

Приклади числових виразів:

1 + 2;
(1/2 + 3/4) * 15 + 12 — 8 : 2;
(3/5)2 + (4/5)3;

Чому одно числовий вираз?

Числовий вираз дорівнює числу, яке ми отримаємо, виконавши всі дії в цьому числовому вираженні.

Якщо у виразі крім чисел використовувати букви, то отримаємо буквені вирази.

Приклади буквених виразів:

y = 2x;
a + b;
d;

В буквених виразів ми можемо застосовувати арифметичні дії, зведення в раціональну ступінь, витягувати корінь, такі вирази називають алгебраїчними виразами.

Приклади алгебраїчних виразів:

y = 2x + 23;
a + b : 2;
d;

Цілі раціональні вирази

Алгебраїчний вираз називається цілим, якщо в ньому відсутнє ділення на змінну та/або витяг кореня з змінних.

Приклади цілих виразів:

a + b;
a + b/2;
Наверх

Дробові раціональні вирази

Алгебраїчний вираз називається дріб, якщо в ньому є розподіл і у знаменнику є змінні і якщо в ньому відсутній витяг кореня з змінних.

Приклади дробових виразів:

(a + b2)/(a - b);
a + b/2a5;

Взагалі, будь-яке дробове вираз представляється як A/B, де A і B раціональні вирази і, як вже зазначалося вище, в знаменнику є змінні; ще таке дробове вираз називають раціональним дробом.

Основна властивість дробу

Основна властивість дробу полягає в тому, що чисельник і знаменник дробу можна помножити або поділити на одне і те ж (не нуль) число і при цьому значення дробу не зміниться.

Як це розуміти?

Ось приклад: нехай у нас є дробове вираз 1/2, тобто одна друга. Поділимо чисельник на знаменник, отримаємо

1/2 = 0,5

Отже, проста дріб одна друга дорівнює десятковому вираженні 0,5. Тепер застосуємо основне властивість алгебраїчної дробу, тобто помножимо чисельник і знаменник на одне і те ж число. Нехай цим числом буде 2

(1 * 2)/(2 * 2) = 2/4

Тут ми і чисельник, і знаменник помножили на два і отримали просту дріб дві четверте. Основна властивість дробу говорить, що наша дріб не змінилася. Але як же вона не змінилася, адже була дріб 1/2, а стала 2/4? Так, вигляд у неї став інший. І чому дорівнює наша нова дріб 2/4 в десятковому вираженні?

2/4 = 0,5

А це вказує, що значення нашої дробу не змінилося, воно як і раніше дорівнює 0,5. Так, вигляд дробу змінився, але значення збереглося. Ми помножили і чисельник, і знаменник на одне і теж число, при цьому значення дробу не змінилося. В цьому і полягає основна властивість дробу. У нашому прикладі ми можемо сміливо записати:

1/2 = (1 * 2)/(2 * 2) = 2/4

Ще приклад. Нехай є дробове вираження:

(a + b2)/(a - b);

Основна властивість дробу позвляет нам і чисельник, і знаменник помножити на одне і те ж число. Нехай цим числом буде 10

10(a + b2)/(10(a - b));

Вид дробового виразу змінився, але його значення збереглося. Згадаймо визначення: основна властивість дробу полягає в тому, що чисельник і знаменник дробу можна помножити або поділити на одне і те ж (не нульову) число і при цьому значення дробу не зміниться.

Розділимо і чисельник, і знаменник нашого нового дробового виразу на одне і теж число. Нехай цим числом буде 10

10 : 10(a + b2)/(10 : 10(a - b));

10 : 10=1, а це означає, що дробове вираз набуває вигляду:

1(a + b2)/(1(a - b));

Множник, рівний одиниці зазвичай не пишуть, адже будь-яке число, помножене на одиницю дорівнює самому собі. Опускаючи поодинокі множники, отримуємо:

(a + b2)/(a - b);

А це і є наше початкове дробове вираження. Ми ще раз переконалися, що множення або ділення і чисельника, і знаменника на одне і теж число не змінює значення дробового виразу.

Множити або ділити і чисельник, і знаменник дробового виразу можна й на ціле раціональне вираз (за умови, що воно НЕ дорівнює нулю).

В якості прикладу розглянемо дробове вираз

b/2a;

Помножимо і чисельник, і знаменник на раціональне вираз a + b

b(a + b)/(2a(a + b));

Змінився вигляд нашого вихідного дробового виразу? Так, помітно змінився. А чи змінилося значення дробового виразу після множення і чисельника, і знаменника на ціле раціональне вираз a + b? Немає не змінилося, адже, якщо і чисельник, і знаменник розділити на a + b, то отримаємо початкове дробове вираження b/2a.

А для чого потрібно це основна властивість дробу?

Для того щоб скорочувати дроби і для того, щоб надавати дробу потрібний вид.

Прямо зараз розглянемо простий приклад, де ми застосуємо основне властивість дробу. Отже, нехай є дробове вираження:

(ab + b)/(2b + ab);

Перед нами завдання спростити це дробове вираження. Помічаємо, що і чисельник, і знаменник містять спільний множник b, винесемо його за дужки:

b(a + 1)/(b(2 + a));

Застосуємо основне властивість дробу: розділимо і чисельник, і знаменник на загальний множник b

b : b(a + 1)/(b : b(2 + a));

Отримуємо:

(a + 1)/(2 + a);

Адже b : b = 1, а множник, рівний одиниці ми просто опускаємо. Отже,

(ab + b)/(2b + ab) = (a + 1)/(a + 2);

У цьому прикладі ми скоротили дробове вираження за рахунок наявності і в чисельнику, і в знаменнику загального множника b. Зверніть увагу, мова йде саме про множнику. Важливо знайти і вивести за дужку загальний множник.

А ось приклад, в якому часто помиляються, так як забувають, що скорочувати можна тільки на загальний множник чисельника і знаменника:

((a + 2) + b)/(a + 2)

І в чисельнику, і в знаменнику є вираз (a + 2). Помилкою тут буде просто закреслити (a + 2) і в чисельнику, і в знаменнику для скорочення дробу, отримавши (1 + b)/1. Це помилка. Чому? Тому, що ми можемо скорочувати тільки загальний множник, множення має бути. А у нас в чисельнику сума: (a + 2) + b.

Щоб скоротити цю дріб на (a + 2), треба в чисельнику винести за дужку загальний множник
(a + 2) так:

(a + 2)(1 + b/(a + 2)) / (a + 2)

Таким шляхом ми отримали множення: вираз (a + 2) множиться на дужку (1 + b/(a + 2)), ось тепер можна скорочувати і чисельник, і знаменник на (a + 2). Остаточно отримуємо:

(1 + b/(a + 2))/1 = 1 + b/(a + 2)
Наверх

Раціональні вирази

Раціональні вирази – це цілі і дробові вирази, розглянуті вище.

Ірраціональні вирази

Алгебраїчний вираз називається ірраціональним, якщо в ньому є витяг кореня з змінних. Приклади ірраціональних виразів:

a2/5 + b2/5;
(2a)5/3;

Дробова ступінь – це інша форма запису кореня.

Трансцендентні вирази

Трансцендентні вирази містять змінні під знаками логарифмічної, показовою, тригонометричних функцій. Приклади трансцендентних виразів:

log5a + b;
cos(a + b);