Функція. Графік функції

Функція

Поняття функції

Що таке функція? Що таке математична функція? Розглянемо простий приклад функції. Нехай дано рівняння:

y = 2x

Якщо замість х підставити 1, то y буде дорівнювати 2. Обчисливши це, ми иксу, рівному 1, поставили у відповідність y, рівний 2. Відповідність визначається математичним законом. І який тут закон? В даному прикладі математичний закон такий: два помножити на ікс, тобто будь-яке значення ікс треба помножити на два. Якщо ікс дорівнює 2, то яке значення игрека йому буде відповідати? Застосуємо до иксу наш математичний закон, тобто помножимо його на 2 і отримаємо: y = 4.

І де ж тут функція? Функцією тут є y. Ігрек – це функція від ікс. Якщо ми змінимо ікс, зміниться і ігрек, ігрек залежить від ікс, ігрек є функція від ікс.

Отже, ігрек тут є функцією від ікс.

Ікс називають аргументом або незалежної змінної. Значення игрека залежить від ікс, тому ігрек називають залежною змінною або функцією від ікс.

Приклади функцій

Простий приклад:

y = x + 5

Де тут функція? Ігрек – це функція, ікс – це аргумент функції, математичний закон в даному прикладі полягає в тому, що до иксу треба додати п'ять. Як знайти значення функції? Треба замість аргументу, тобто ікса, підставити його значення і обчислити чому дорівнює ігрек. Ігрек і є значення функції. Отже, нехай ікс = 5. Знайдемо значення функції, тобто значення игрека: 5 + 5 = 10. Значить значення функції при х = 5 буде 10.

Інший приклад. Площа квадрата дорівнює квадрату сторони:

S = a2

Де тут функція? S – це функція, "a" – це аргумент функції, математичний закон в даному прикладі полягає в тому, що "a" потрібно звести в квадрат. Як знайти значення функції? Треба замість аргументу, тобто "а" підставити його значення і обчислити чому равена площа S. S і є значення функції. Отже, нехай a = 5. Знайдемо значення функції, тобто значення S. Маємо 5 * 5 = 25. Значить значення функції при a = 5 буде 25.

Складемо невелику таблицю відповідності значень "а" значень площ S:

Площа S014916
Сторона a01234

Використовуючи математичний закон, в даному випадку це зведення в квадрат, ми кожному значенню довжини сторони поставили у відповідність значення площі S.

У нашому вираженні

S = a2

S – це залежна змінна або функція, її значення залежить від значення довжини сторони а;
довжина сторони а – це незалежна змінна або аргумент функції.

Визначення функції

Визначення функції: нехай кожному числу х з безлічі А поставлено у відповідність одне число ігрек, тоді ігрек є функція від ікс.

Головне слово у визначенні функції – це "відповідність". Якщо ми визначили цю відповідність, визначили і функцію.

Коли говорять про функції зазвичай пишуть вираз:

y = f(x)

тут y – це функція або залежна змінна,
x – це аргумент функції або незалежна змінна,
f – це позначення математичного закону, за яким кожному значенню х ставиться у відповідність одне значення игрека.

Приклади функцій дивіться вище.

Наверх

Аргумент функції

Ось приклад функції:

y = 2x – 1

ікс у даному прикладі називається аргументом функції або незалежної змінної.

А де аргумент в такій функції:

S = 20 / t

тут аргумент – t. А функція – це S.

Приклади функцій та їх аргументів дивіться вище.

Наверх

Значення функції

Значення функції – це те, чому дорівнює функція. Приклад. Нехай дана функція:

y = 5x

Функцією тут є ігрек. Щоб знайти значення функції, тобто значення игрека, потрібно підставити допустиме значення аргументу x. Так і зробимо. Нехай ікс дорівнює 4, тоді

y = 5 * 4

звідки отримуємо, що значення функції при х = 4 буде дорівнює 20-ти.

Область визначення функції

Область визначення функції – це множина допустимих значень аргументу функції. Як це розуміти? Ось приклад функції:

y = 2x

Щоб відповісти на питання яка тут область визначення функції треба зрозуміти при яких значеннях аргументу ікс ця функція має сенс. І при яких? При будь-яких. Значить область визначення даної функції є вся числова пряма від мінус нескінченності до плюс нескінченності.

Ось інший приклад функції:

y = 2/x

при яких значеннях аргументу ікс ця функція має сенс? При будь-яких, крім нуля. Адже на нуль ділити не можна. Отже, для цієї функції областю визначення є вся числова пряма, крім нуля.

Отже, область визначення функції – це множина допустимих значень аргументу функції.

Розглянемо прості приклади, як знаходити область визначення функції.

Знайдемо область визначення функції

y = 2 / (x + 2)

Область визначення функції – це множина значень аргументу, при яких функція має сенс. В даному прикладі область визначення функції складають всі числа, крім тих, при яких знаменник дорівнює нулю. Адже на нуль ділити не можна. Значить, ми повинні знайти значення х, при яких знаменник звернеться в нуль і виключити їх з області визначення функції. Для вирішення цієї задачі приравняем знаменник до нуля:

x + 2 = 0

Розв'яжемо це рівняння:

x = -2

Отже, при x = -2 знаменник дорівнює нулю. На нуль ділити не можна, а значить при цьому значенні ікс функція втрачає сенс. Тепер ми можемо знайти область визначення функції

y = 2 / (x + 2)

Областю визначення функції є вся числова пряма, крім числа -2.

Ще приклад. Знайти область визначення функції

y = 2 / (4x2 - 4x +1)

Ми вже знаємо, як знаходити область визначення функції: треба вказати значення аргументу, при яких вона має сенс. Тут перед нами дробове вираження. Знаменник не дорівнює нулю. Отже, область визначення функції в даному випадку - це всі числа, крім тих, які звертають знаменник в нуль. Як знайти такі числа? Прирівняти знаменник нулю:

4x2 - 4x +1 = 0

і вирішити це квадратне рівняння. Вирішуємо і знаходимо,що корінь рівняння x = 0,5. Тепер можна вказати область визначення функції - це вся числова пряма, крім числа 0,5. А що значить вказати область визначення функції? Це означає вказати всі значення аргументу (тобто ікси), при яких функція має сенс. У нашому випадку це всі числа, крім 0,5.

Наверх

Множина значень функції

Безліч значень функції – це всі значення, які приймає функція на своїй області визначення. Розглянемо функцію:

y = 2x

Безліч значень функції в даному випадку є вся числова пряма.

Інший приклад функції:

y = x2

Безліч значень функції в даному випадку є інтервал від нуля до плюс нескінченності, адже будь-яке число в квадраті дає додатне число або нуль.

Ніж безліч значень функції відрізняється від області значень функції? Нічим.

Складна функція

Складна функція. Що таке складна функція? Це коли одна функція знаходиться всередині іншої функції, тобто аргументом функції є інша функція. Приклад складної функції:

y = (x + 2)5

вираз x + 2 - це функція. Але ця функція в нашому прикладі зводиться в 5-ю ступінь, тобто над функцією є ще одна функція. Щоб побачити ось цю зовнішню функцію позначимо x + 2 через t, отримуємо:

y = t5

ось так виглядає зовнішня функція. Але t сама є функцією, тобто у нас функція виявилася під знаком іншої функції.

Складну функцію зазвичай представляють так:

y = g(f(x))

тут ікс знаходиться під знаком функції f, а функція f знаходиться під знаком функції g. Одна функція виявилася всередині іншого, стала аргументом іншої функції, це і є складна функція.

Отже, якщо аргументом функції є інша функція, то ми маємо справу зі складною функцією.

Наверх

Графік функції

Графік функції. Як побудувати графік функції? Побудова графіків функцій зазвичай починають із заповнення таблиці, у першій рядку який вкажемо значення функції, а в другій - значення аргументу. Розглянемо простий приклад побудови графіка функції

y = 2x

Креслимо таблицю, у верхньому рядку вказуємо значення аргументу функції, тобто "х", а в нижньому рядку вкажемо відповідні значення функції, тобто "y". Приклад: ікс дорівнює -2, тоді

y = 2 * (-2) = -4
X-20123
Y-40246

Таблиця готова. Тепер креслимо прямокутну систему координат і знайдемо на ній точки, що відповідають знайденим парам координат. Приклад: знайдемо точку з координатами x = -2; y = -4: График функции

Знайдемо положення інших точок і побудуємо графік по цих точках: График функции

Звичайно, цей графік можна було побудувати і по двом точкам, адже пряма визначається двома точками.

Наверх

Парні функції

Якщо для функції f(x) виконується рівність:

f(x) = f(-x)

то така функція називається парної.

Графік парної функції симетричний відносно осі ординат. Приклад функція y = x2. Це – парабола: Четные функции

Непарні функції

Якщо для функції f(x) виконується рівність:

f(-x) = -f(x)

то така функція називається непарною.

Графік непарної функції симетричний відносно початку координат. Приклад функція y = x3. Це – кубічна парабола: Нечетные функции

Ні парні і ні непарні функції

Якщо навіть для одного значення х функції y = f(x) не виконується умова парності функції і навіть для одного значення х функції y = f(x) не виконується умова непарності функції, то дана функція не є парної і не є непарною.