Комплексні числа

Поняття комплексного числа

Визначення комплексного числа:

комплексне число – це впорядкована пара дійсних чисел.

Якщо кожному дійсному числу відповідає точка числової прямої, то кожному комплексному числу відповідає точка координатної площини.

Приклад комплексного числа:

(2; 4), це упорядкована пара дійсних чисел.

Як розуміти "упорядкована"? У нашому прикладі (2; 4) на першому місці стоїть 2, а на другому коштує 4. Якщо поміняти місцями ці числа, ось так (4; 2), то ми отримуємо інше число, яке не дорівнює числу (2; 4).

Комплексне число (0; 0) називають комплексним нулем.

Арифметичні дії з комплексними числами

Сума комплексних чисел:

(a; b) + (c; d) = (a + c; b + d)
(1; 2) + (4; 9) = (1 + 4; 2 + 9) = (5; 11)

Різниця комплексних чисел:

(a; b) - (c; d) = (a - c; b - d)
(1; 2) - (4; 9) = (1 - 4; 2 - 9) = (-3; -7)

Добуток комплексних чисел:

(a; b) * (c; d) = (ac - bd; ad + bc)
(1; 2) * (4; 9) = (1*4 - 2*9; 1*9 + 2*4) = (-14; 17)

Ділення комплексних чисел:

(a; b) : (c; d) = ((ac + bd)/(c2 + d2); (bc - ad)/(c2 + d2))
(1; 2) : (4; 9) = ((1*4 + 2*9)/(42 + 92); (2*4 - 1*9)/(42 + 92)) = (0.23; -0.01)
Наверх

Алгебраїчна форма запису комплексного числа

Алгебраїчна форма запису комплексного числа:

(a; b) = a + bi
(1; 12) = 1 + 12i
(-1; -12) = -1 - 12i

У алгебраїчною формою запису комплексного числа a + bi, a називається дійсною частиною комплексного числа, bi називається уявною частиною комплексного числа, i називається уявною одиницею.

Уявна одиниця i дорівнює кореню квадратному з мінус одного, значить квадрат уявної одиниці дорівнює:

i2 = -1

Уявна одиниця i дає нам можливість отримувати квадратні корені з від'ємних чисел.

Наверх

Витяг кореня квадратного з негативного числа

Витяг кореня квадратного з негативного числа:

Витяг кореня квадратного з негативного числа

адже корінь квадратний з мінус одиниці дорівнює i, тобто уявної одиниці.

Піднесення до степеня комплексного числа

Піднесення до степеня комплексного числа робиться рівно також, як і зведення в ступінь дійсного числа. Треба лише пам'ятати, що уявна одиниця в квадраті дорівнює мінус одиниці:

i2 = -1

Зведемо в квадрат комплексне число 2 + 7i, використовуючи формулу скороченого множення (a + b)2 = a2 + 2ab + b2:

(2 + 7i)2 = 22 + 2 * 2 *7i + (7i)2 = 4 + 28i + (7)2(i)2 = 4 + 28i + 49 * (-1) = -45 + 28i

Рівність комплексних чисел

Комплексні числа рівні, коли рівні їх дійсні та уявні частини відповідно:

(a; b) = (c; d), якщо a = c и b = d.