Теорема синусів

Що таке теорема синусів?

Теорема синусів для трикутника

Теорема синусів

Теорема синусів:

У трикутнику сторони пропорційні синусам протилежних кутів.

Теорема синусів формула

Теорема синусів формула:

a/sinA = b/sinB = c/sinC

Теорема синусів доказ

Теорема синусів доказ.

Розглянемо довільний трикутник ABC Теорема синусів доказ

Висота трикутника ABC дорівнює h. Виразимо h через синус кута З:

h = a sinC

Площа трикутника ABC дорівнює половині добутку основи b на висоту h:

S = (1/2)bh = (1/2)ab sinC

Аналогічно знайдемо площу даного трикутника, використовуючи інші його сторони:

S = (1/2)bc sinA
S = (1/2)ac sinB

Ліві частини всіх трьох рівностей для площі однакові, адже ми шукали площа одного трикутника, отже, рівні і праві частини:

(1/2)ab sinC = (1/2)bc sinA
a sinC = c sinA

Розділимо обидві частини останнього рівності на твір sinA*sinC:

a sinC/(sinA*sinC) = c sinA/(sinA*sinC)
a/sinA = c/sinC

Аналогічно, прирівнюючи праві частини (1/2)bc sinA = (1/2)ac sinB, отримуємо:

(1/2)bc sinA = (1/2)ac sinB
b sinA = a sinB
b sinA/(sinA*sinB) = a sinB/(sinA*sinB)
b/sinB = a/sinA

В результаті отримуємо:

a/sinA = b/sinB = c/sinC

Теорема доведена.

Теорема синусів для трикутника широко застосовується при вирішенні задач по геометрії, по кінематиці і в інших областях.

Наслідки з теореми синусів

Наслідки з теореми синусів.

Наслідки з теореми синусів полягають у тому, що у трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут, а проти більшого кута лежить більша сторона.